最短距离

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第 1 页 共 6 页 空间与图形“两点之间线段最短”，“垂线段”，“点关于直线对称”，“线段的平移”。

原型来源于： “建奶站”，“造桥选址”等问题。 背景变式有：

角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

二．原题呈现：

A,B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离最短？

a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？

6cm ，5cm ，4cm ，现有一只蜘蛛由A 点出发去捕食G 处的昆虫，则这只蜘蛛的最短爬行路线是多少厘米？

EF 长为10cm ．母线 OE(OF)长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂 蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm． 5. 升学指导175页14题（2009年青岛中考第14题）：

长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A 开始经过

4个侧面缠绕

n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm．

居民区B

居民区A 街道 G A Ｆ

Ｅ 第3题图 第4题图

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4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A

处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．

三．变式拓展：

1. 如图，AC 、BD 为边长为2cm 的正方形ABCD 的对角线，相交于点O, 点D 为BC 边的中点，请在BD 上找一点P ，使DP+CP之和最小，最小为 。

2. 如图2，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 边CD 上的一点，且DE=1，试在

AC 上确定一点P ，使PD+PE的和最小，最小为 。

3. 如图3，等腰直角三角形ABC 的边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一个动点，则PB+PE的最小值为

4. （2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

5.(2009抚顺) 如图所示，正方形

ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．B ． C ．3 D 6. 如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，MP ＋NP 的最小值是__________．

7. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE ＝2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是_ ．

B C D 变式练习1变式练习2变式练习3图 B

A 6cm

3cm 第5题图 第6题图 变式练习6 D E C 变式练习5B C Q 变式练习4

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第 3 页 共 6 页 8.(2009年鄂州) 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ）

A 、172 B 、174 C 、 178

D 、3

9. 如图，△ABC 中，AB=2，∠A=30°，若在AB 、AC 上各取一点，使得BM+MN的值最小，最小值为 。

10.. 如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在直线a 上平行移动。问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB

最短，最短是 。

11. 如图3，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为

12. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（ ）.

（A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）1

1A A 11C D 1

C 14

13. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C

1处

（三条棱长如图所示），

问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

14. 有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体

的一个顶点A 处沿表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为

变式练习14图 变式练习15图

A

B C

变式练习12图 变式练习13图 变式练习16图 拓展提升9图 拓展提升10 拓展提升11

图

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第 4 页 共 6 页 15. 如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．

16. 如图是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 。

A 、4.8 B 、 C 、5 D 、

17. 如图：在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的得最短路程是 米．（精确到0.01米）

A

B 1A 5

(3+1)×3=12

18. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物. 请问：这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短路程是 。

19. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它

20. 有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达

A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？

1. （2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

2.(2009年抚顺市) 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．B ． C ．3 D 3.(09陕西) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是____．

A C 变式练习17图 图 变式练习18图 变式练习20图 D E C 中考真题2B C Q 中考真题1

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4. （2009恩施市） 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷() A 和世界级自然保护区星斗山() B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．

（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小；

（2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在

X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

5. （2010宁德第25题）：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为1+时，求正方形的边长.

6. （1）

如图1，等腰直角三角形ABC 的直角边长为2，E 是斜边

AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE的最小值为 ；

（2）几何拓展：如图2, △ABC 中，AB=2，∠BAC=300

, 若在AC 、AB 上各取一点M 、N 使BM+MN的值最小，求这个最小值；

P

图（1） 图（3）

图（2） B C

F A D B C

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第 6 页 共 6 页 （第24题图）图 2图 1C B E P C B A （3）代数应用：求代数式

4) 4(122+-++x x （0≤x ≤4）的最小值.

7. (2008咸宁) 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A ′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B ′、C ′的位置，并写出他们的坐标：B ′ 、C ′ ； 归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为 （不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．