解析几何之"光阴的故事"

解析几何之“光阴的故事”

（2013山东高考数学理科22题）椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1、F 2, 离心率为

，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； 答案：14

22

=+y x （Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2, 设∠F 1PF 2的角平分线 PM交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明12

11kk kk +为定值，并求出这个定值. 此题评价：

由于只有“方程法”比较好做因此此题令考生十分难受，可以理解，多少考生只会韦达定理法而不会其他方法？不过，就我个人而言倒是感觉十分过瘾。因为2年前“隐形的翅膀”就是研究的“方程法”问题，就是希望学生能够不完全依赖“韦达定理法”。从最近两年来看要想掌握“方程法”对中等学生还是很困难，尖子生往往也不能合理驾驭。但是，我依然相信“方程法的研究”很有价值。不过从9年高考题来看，这是唯一一次不能用“韦达定理”的情况，我也很感意外，我没想到命题小组有着与我相同的“狂热”甚至“极端”，如果换做是我会出一道“三法并行”的题目。还有，此题可以用的解题方式太过灵活，甚至一些课外结论往往会是题目大大变简单，这一点不如2013文科22题。如果数学依靠多掌握公式与结论就能多的分是不利于学生数学水平的提高的，我觉得。如果将2013文理22提做个对比：

文科22题是“战略家”---注重思路方法能力（三法通用）；

理科22题是“战术家”---突出技巧淡化通法（仅仅是法二的几种不同方式而已）。

解析几何方法总结：解析几何常规方法主要是：

一、韦达定理法；

二、方程法；

三、三角代换法（非通法）。

一般来讲学生只能掌握法一，法二尽管绝大部分题目可以用但是很少能够掌握且被很多师生忽视；法三对应的“圆锥曲线参数方程”高考已经不要求且三角函数也在高考中降低要求因此已经属于“补充”内容，而且三角代换并不能解决多数解析几何问题只适用于少数题目。我总结了全部9年山东高考解析几何的命题特点如下：

法一（韦达定理），除了2013年山东理科22题外全都可以用；

法二（方程），2005文理22题、2006山东理科21题、2011文理22题、2013文理22题； 法三（三角代换），2009理科22题（3）问；2011理科22题（1）；2013文科22题（2）问；

综上述：三种方法尤其是前两种通法是一定有一种能够解决问题的。至于除着三种方法之外的一些特殊技巧方法并不常见，诸如：向量法、数形结合法等我觉得还不能称之“方法”，只能说是一种“解法”吧！我印象中2008年理科22题（3）就有一种非常简单的“数形结合”的办法，不过我想了三年才想出来且不具备“普遍性”；还有理科2009年2题（3）也有一种利用“圆”的办法，也是很难想到。

看看9年高考题，我有一种感觉：我们平时做了大量的解析几何题目，但是老师同学们是不是都过分的在“韦达定理”法上反复浪费时间呢？其实，学生们把9年山东高考题都做熟做透就足够了，每个山东高考题都做了三遍了吗？每个题目都从至少前两种方法思考对比了吗？。。。。。。

下面我们从多个角度对2013山东理科数学高考22题（2）（3）问展开研究：

第(2)问中：法一（韦达定理）此题好像难以运用；法三（三角代换）很难发挥作用；

解读（2）问：（只能运用法二：方程法）如图： 方式一：（21d d =）

设点) , (00y x P 满足：14

2

02

0=+y x ;

03) (:; 0) 3(:00000021=+--=--+y x y y x l y x y y x l PF PF 点) , (00y x P 到21PF PF l l 与

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-∈=⇒-∈∈-

-=

+

+⇒

--=++⇒-

+--=

-

+++⇒

+--=

+++∴

23, 2343)) 2, 2(, (, 2

322

2) 232()

() 22()

3(4

1) 3()

(4

1) 3() 3() 3() () () 3(0021002

02020

2

020

2

020

2

0020

2

00x m x F F M x m x m x m x m x x m x

x m y x m y y x m y 线段

注意1：若不能合理使用方程142

020=+y x ，20

20020200) 3() 3() () 3(y x m y y x m y +--=

+++就只能平方，运算量巨大。 注意2：2

0202020) (, ) (y x y x +-++分别就是21PF PF ，也就是椭圆的焦半径，此处恰好又给出了焦半径0201ex a PF ex a PF -=+=的一种推导方式，即对于椭圆：122

22=+b

y a x 的焦半径21PF PF ： []过。

、周琪卓兰曾同时运用这种方法及问题“李真；. .......... )

, (, ) (2) 1(2() (02002

20202

222

2

2

020

20

2

01ex a PF a a x ex a a x a c a cx x a c a

x b c cx x y c x PF -=-∈+=+=++=

-+++=++=

建议焦半径公式：0201ex a PF ex a PF -=+=可以补充给尖子生； 注意3:2010年青岛市一模文科21题（1）及2009年青岛一模文理22题（2）也是此类问题。

注意4：2010年全国卷理科21题做法上与此题也是极为类似，手头暂无材料无法展示此题了。好像是内切圆。

注意5：直线方程还有一种常见处理方式（不再作为一种方法只是另一种处理方式而已）：

, 3

); (:); (:0020011121-=

+=

+=+=x y k x y k x k y l x k y l PF PF ，

()

) ; 3, 34

4303) 434(

03) 2(32)

() (210

00022

2

212

2

2122212

2

2

22

1

121）垂直的也满足与过或d d PM P m x m x m m x x m m k k k k k k m k m k k

m k d d =-∈==⇒=++-⇒=+-++-⇒+-=

++⇒=

方式二：（正弦定理或结论）

在M AF 1∆中由正弦定理知：

; sin 2

sin

1

11PMF PF M F ∠=

在M AF 2∆中由正弦定理知：

; sin 2

sin

2

22PMF PF M F ∠=

又π=∠+∠21PMF PMF ，()

2, 21+-∈PF

⎪⎭

⎫

⎝⎛-∈-=

⇒-=

-+⇒

=

⇒

23, 233234311

12

121PF m PF PF m

m PF PF M

F M F 注意1：由于涉及边较多故选用正弦定理而非余弦定理； 注意2：巧用椭圆定义，建立) (1PF f m =的函数关系； 注意3：关于角平分线的一个重要结论：

2

121PF PF M

F M F =

。我认为是可以直接运用的，则此题又会大大简化。

方式三：（光学原理+第三问结论）如图结合物理光学知识不难发现：

光线从1F 出发到点P 经过椭圆（相当于入射过点P 与椭圆相切的直线l 上）反射经过点2F ，由入射角等于反射角原理可知：l PM ⊥；在第（3）问中我们可以推出：004y x k -

=，1-=∙∴k k PM ，1) 4(0

000-=-∙-∴y x

m x y ()⎪⎭

⎫

⎝⎛-∈∴-∈=

⇒23, 23, 2, 2, 4300m x x m 注意1：此法前提为第三问0

4y x k -

=要能够推导出来。 注意2：这个光学原理我没有证明，但是我很有信心它是正确的。

方式四：

（2

cos

=

=

θ

共线+

）

解：由角平分线知：2

cos

=

⇒

=

=

θ

204x ≠，将向量坐标代入并化简得：m （23000416) 312x x x -=-，因为2

04x ≠，

所以034m x =

，而0(2,2) x ∈-，所以33

(, ) 22

m ∈- 注意:：这是网上提供的一种解法，我算过运算量很大，我觉得没啥意思；

此题推广至一般结论：⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∈a c a c m 22,

总体看（2）问重点考察了“方程思想”，方式较多也显得技巧由于高度不足（最好避开结论）。

解读第（3）问：

（法一：韦达定理）如图，由题意知：

8) 2(4) 1

1(1113

, ,

4,

0) 2

242414.......... 0424012) 4(, , ...... .......... 012) 4(004844() (8) 41() (14

00021210020010

02002

0002202

02

020002

20

20

002

20

2

000220002

02020022002

2-=-=+=+⇒∴

-=

+=

-=∴=+=++⇒=+=++⇒=-++-=-++-⇒=∆=--++-++⇒⎪⎩

⎪⎨⎧+-==+y x x y k k k kk kk x y k x y k y x

k x k y x k y x k y y x x k y x k y y k y x k x y k y x k x y kx y x k x kx y k x k y

x x k y y x 又（”实现

很难短时间内算对。

我算了一遍此处运算量很大

（法二：方程法）

导数方式一：0

0222

24, 40221) () 4(14y x k y x y y y x y x y x -=∴-='⇒='+⇒'='+'⇒=+，以下略。

导数方式二：以下略。时，当时，当....... .......... .......... 4; 44

4) 2

() 41(21, 40; 44

4) 2

() 41(21, 400

2

21222

21

22y x k y

x x x x

x y x y y y x x x x

x y x y y -

=∴⇒-

=-

=

-∙-∙-='--=<-

=-

-

=-∙-∙='-=≥-- 结论法：椭圆的在P 点处的切线方程为：

0014x x y y +=，所以00

4x

k y =-，以下略。 注意：椭圆切线的一般性结论：

12020=+b

y y a x x （可类比原点圆的切线：2

00r y y x x =+） (法三：光学原理+第（2）问结论) 如图结合物理光学知识不难发现：

光线从1F 出发到点P 经过椭圆（相当于入射过点P 与椭圆相切的直线l 上）反射经过点2F ，由入射角等于反射角原理可知：l PM ⊥；在第（2）问中我们可以推出：04

3

x m =

；又1-=∙k k PM ，14

30

00

-=∙-

∴k x x y 0

4y x k -

=⇒，以下略。 推广至一般结论：22

210202211, b

a kk kk y a x b k -=+-=

对比1：切线问题巧解2009山东文科22题（3）

（2009山东文22（3））设直线l 与圆C:222

x y R +=(1<R<2)相切于A 1, 且l 与轨迹E ：1422

=+y x 只有一个公共点B 1, 当R 为何值时,|A1B 1|取得最大值? 并求最大值.

解读：此题与2013山东理科22题（3）极为类似。

法一联立判别式的方式不再展开了，也是运算量很大很大！

法二：方程法+导数

) , (001y x B 设，由于直线l 是圆C 与椭圆E 公切线，220202

121211R y x OA OB B A -+=-= 由椭圆切线知：0

022224, 40221) () 4(14y x k y x y y y x y x y x -=∴-='⇒='+⇒'='+'⇒=+， 椭圆切线l 的方程为：0014

x x y y +=；同时作为圆的切线得： 2202020202016163, 431161161

R

x R x x R y x -=⇒=-+⇒=+ 2, 1) 4(5412222020

2202

0211=≥+-=--+=-+=∴R R R R x x R y x B A 等号当仅当。 对比2：圆锥曲线切线问题在2008山东理科22题、2012理科22题、2009文科22题、2013文理11题、2013理科22题均涉及，值得关注。

（2012山东理科21）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py（p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34

。 （Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）若点M

l ：y=kx+14

与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12

≤k ≤2时，的最小值。 （2008年山东高考理科22题）如图，设抛物线方程为2

2(0) x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．

（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22) p -，

时，AB = （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0) x py p =>上，其中，点C 满足

OC OA OB =+ （O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

以上两题切线较好处理，因为开口向上的抛物线本身就是二次函数，容易想到导数。

总之，2013山东理科高考题22题重点考察了“方程法”，这一点估计很多老师同学不会喜欢，不过符合我的胃口。我在《隐形的翅膀》中已经表达很多了。但是，方程法相对于韦达定理更加灵活，需要老师们在教学中多家研究、精心指导。

对比3：“光阴的故事”---2011年高考前的一道改编题目。

圆3:2

2=+y x D 。探究：是否存在离心率为22的椭圆) 0(:2222>>=+b a b y a x M ，使得圆D 上任意一点引椭圆M 的两条切线互相垂直。若存在请求出椭圆M 的标准方程；不存在请说明理由。

解析：（Ⅰ）由2

2=e 知222b a =当取特殊位置如图：），（b a 在圆322=+y x 上，C 方程为. 1222=+y x 下面证明：圆D ：322=+y x 上任意一点P 作椭圆M 的两条切线, m n ． n m ⊥．

（韦达定理+判别式+方程法）

设) , (00y x P . 当20±=x 时，有一条切线斜率不存在，此时， 10±=y ，可见，另一条切线平行于x 轴，n m ⊥； 设20±≠x ，则两条切线斜率存在. 设直线m 的斜率为k ，则其方程为) (00x x k y y -=-

即. 00kx y kx y -+=代入12

22

=+y x 并整理得：. 02) (2) (4) 21(2000022=--+-++kx y x kx y k x k 由0=∆可得：012) 2(2000220=-++-y k y x k x ，0) 1(2) 1(2000220=-++-∴y k y x k y ，（32020=+y x ）

n m , 的斜率21, k k 就是上述方程的两根，由韦达定理，11

1202021-=--=y y k k . 这就证明了n m ⊥. （这是一种方程思想，．．．．．．．．．．既与．．2013．．．．山东理科．．．．22．．题（．．3．）问类似．．．．与．2006．．．．山东理科．．．．21．．题．“逆用方程”也很．．．．．．．．类似）．．． 综上所述，过圆D 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线n m , ，总有n m ⊥.

春天的花开秋天的风以及冬天的落阳，忧郁的青春年少的我曾经无知的这么想，风车在四季轮回的歌里它天

天地流转，风花雪月的诗句里我在年年的成长，流水它带走光阴的故事改变了一个人，就在那多愁善感而初次等待的青春

发黄的相片古老的信以及褪色的圣诞卡，年轻时为你写的歌恐怕你早已忘了吧，过去的誓言就象那课本里缤

纷的书签，刻划着多少美丽的诗可是终究是一阵烟，流水它带走光阴的故事改变了两个人，就在那多愁善感而初次流泪的青春

遥远的路程昨日的梦以及远去的笑声，再次的见面我们又历经了多少的路程，不再是旧日熟悉的我有着旧日

狂热的梦，也不是旧日熟悉的你有着依然的笑容，流水它带走光阴的故事改变了我们，就在那多愁善感而初次回忆的青春